Tứ giác ngoại tiếp đường tròn là một đối tượng hình học đặc biệt, mang nhiều tính chất thú vị và ứng dụng quan trọng. Việc nghiên cứu tứ giác ngoại tiếp không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất hình học mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của tứ giác ngoại tiếp đường tròn.
1. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn là gì?
Tứ giác ngoại tiếp đường tròn là một tứ giác mà tất cả các cạnh của nó đều tiếp xúc với một đường tròn nằm bên trong tứ giác. Hay nói cách khác, đường tròn này là đường tròn nội tiếp của tứ giác. Đặc điểm nổi bật của tứ giác ngoại tiếp là mỗi cạnh của nó là một tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp.
Điều kiện cần để tứ giác là tứ giác ngoại tiếp là: Tổng độ dài hai cạnh đối nhau của tứ giác phải bằng nhau.
Cụ thể, nếu tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp, thì: AB + CD = BC + DA
2. Tính chất của tứ giác ngoại tiếp
Tứ giác ngoại tiếp không chỉ đặc biệt ở điều kiện tổng độ dài hai cặp cạnh đối nhau bằng nhau mà còn có nhiều tính chất đáng chú ý khác, bao gồm:
- Các đường phân giác của góc trong tại các đỉnh của tứ giác giao nhau tại tâm của đường tròn nội tiếp.
- Bất kỳ cạnh nào của tứ giác đều là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tại một điểm duy nhất.
- Tổng các góc đối nhau của tứ giác ngoại tiếp không nhất thiết bằng 180°, nhưng điều kiện tổng cạnh đối bằng nhau luôn đúng.
- Nếu tứ giác ngoại tiếp có các đỉnh là A, B, C, và D, thì tích hai đường chéo bằng tổng tích các cặp cạnh đối:
AC × BD = AB × CD + BC × DA
3. Chứng minh điều kiện tổng hai cạnh đối bằng nhau
Để chứng minh điều kiện AB + CD = BC + DA là cần và đủ để một tứ giác ngoại tiếp đường tròn, ta thực hiện như sau:
Điều kiện cần:
Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn. Gọi các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, CD, và DA lần lượt là P, Q, R, và S. Khi đó, vì P và S là tiếp điểm trên AB và DA, ta có:
AP = AS (tính chất tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm đến đường tròn).
Tương tự:
- BP = BQ
- CR = CQ
- DR = DS
Cộng tất cả các đoạn lại, ta được:
AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ
Hay: AB + CD = BC + DA
Điều kiện đủ:
Nếu một tứ giác có tổng hai cặp cạnh đối bằng nhau (AB + CD = BC + DA), ta có thể dựng một đường tròn sao cho các cạnh của tứ giác đều là tiếp tuyến của đường tròn đó. Điều này chứng minh tứ giác là tứ giác ngoại tiếp.
4. Phân dạng bài tập
Các bài tập về tứ giác ngoại tiếp đường tròn thường xoay quanh tính chất đặc biệt của loại tứ giác này. Dưới đây là các dạng bài tập phổ biến:
Dạng 1. Kiểm tra một tứ giác có ngoại tiếp đường tròn không
Tính chất: Một tứ giác ngoại tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng độ dài hai cặp cạnh đối bằng nhau:
$AB + CD = BC + DA$
Ví dụ: Cho tứ giác \(ABCD\) có các cạnh \(AB = 5\), \(BC = 7\), \(CD = 6\), \(DA = 6\). Hỏi tứ giác này có ngoại tiếp đường tròn không?
Dạng 2. Tính độ dài cạnh khi biết tứ giác ngoại tiếp
Dựa vào tính chất: $AB + CD = BC + DA$
Ví dụ: Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn có \(AB = 8\), \(BC = 5\), \(DA = 7\). Tính \(CD\).
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác ngoại tiếp
Công thức: $r = \frac{S}{p}$
Trong đó:
- \(S\) là diện tích tứ giác
- \(p\) là nửa chu vi: \( p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} \)
Ví dụ: Cho tứ giác ngoại tiếp có các cạnh \(5, 6, 7, 8\). Tính bán kính đường tròn nội tiếp biết diện tích tứ giác là \(21\).
Dạng 4. Bài toán liên quan đến góc trong tứ giác ngoại tiếp
Tính chất:
$\widehat{A} + \widehat{C} = \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$
Ví dụ: Cho tứ giác ngoại tiếp có \( \widehat{A} = 75^\circ \), \( \widehat{B} = 95^\circ \). Tính các góc còn lại.
Dạng 5. Tính diện tích tứ giác ngoại tiếp khi biết độ dài các cạnh
Sử dụng công thức Brahmagupta:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$
Ví dụ: Cho tứ giác ngoại tiếp có các cạnh \(6, 8, 10, 12\). Tính diện tích của tứ giác này.
Dạng 6. Bài toán dựng tứ giác ngoại tiếp
Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\), dựng điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là tứ giác ngoại tiếp.