Tứ giác nội tiếp đường tròn là một trong những chủ đề quan trọng trong hình học phẳng. TuGiac sẽ giúp bạn tìm hiểu định nghĩa, tính chất quan trọng, các dạng bài tập thường gặp cũng như những ứng dụng quan trọng của nó. Mời bạn đọc tham khảo
1. Tứ giác nội tiếp là gì?
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có tất cả bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Nói cách khác, có tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác.
2. Dấu hiệu nhận biết
Một tứ giác bất kỳ là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
- Tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ: $\widehat A + \widehat C = {180^0}$ hoặc $\widehat B + \widehat D = {180^0}$
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc α.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
3. Các tính chất quan trọng
Tính chất góc
- Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ.
- Góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm chắn cùng một cung.
- Hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau.
Định lý Ptolemy
Định lý Ptolemy phát biểu rằng với tứ giác nội tiếp đường tròn có các cạnh \(AB, BC, CD, DA\) và hai đường chéo \(AC, BD\), ta có công thức:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.$
Định lý này giúp tính toán độ dài các đoạn thẳng trong hình học.
Hệ thức lượng trong tứ giác nội tiếp
Diện tích của một tứ giác nội tiếp có thể tính bằng công thức Brahmagupta:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$
trong đó \(p\) là nửa chu vi tứ giác: $p = \frac{a+b+c+d}{2}.$
3. Phân dạng bài tập
DẠNG 1: NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp giải
Một tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nếu thỏa mãn một trong các dấu hiệu sau:
- Tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\): $\widehat A + \widehat C = {180^0}$ hoặc $\widehat B + \widehat D = {180^0}$
- Góc ngoài bằng góc trong đối diện.
- Tứ giác có đường chéo vuông góc tại trung điểm của nhau.
- Bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 1: Cho tứ giác \(ABCD\) với $\widehat A = {75^0}$, $\widehat C = {150^0}$. Chứng minh \(ABCD\) nội tiếp.
Lời giải
Ta tính tổng hai góc đối nhau: $\widehat A + \widehat C = {75^0} + {105^0} = {180^0}$
Do tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\), suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp giải
- Chứng minh điểm đó cùng nằm trên đường tròn với ba điểm khác.
- Chứng minh góc nội tiếp hoặc tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\).
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có \(D\) là trung điểm cung nhỏ \(BC\) của đường tròn ngoại tiếp \(ABC\). Chứng minh \(D\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Lời giải
Vì \(D\) là trung điểm cung nhỏ \(BC\), nên \(DB = DC\).
$\widehat {DBA} = \widehat {DCA}$ (góc nội tiếp chắn cùng cung).
Do đó, điểm \(D\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
DẠNG 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Phương pháp giải
- Sử dụng góc nội tiếp hoặc góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
- Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng \(90^\circ\).
Ví dụ 3: Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\), chứng minh rằng nếu \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) và thỏa mãn $\widehat {AOB} = {90^0}$, thì \(AC \perp BD\).
Lời giải
Do \(ABCD\) nội tiếp nên $\widehat {ADB} = \widehat {ACB}$.
Mặt khác, tổng góc trong tam giác \(AOB\) là: $\widehat {AOB} + \widehat {OAB} + \widehat {OBA} = {180^0}$
Vì \(\angle AOB = 90^\circ\), suy ra \(\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ\).
Tương tự, áp dụng cho tam giác \(DOC\), ta cũng có \(\angle DOC = 90^\circ\).
Suy ra \(AC \perp BD\).
DẠNG 4: TÍNH SỐ ĐO GÓC TRONG TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp giải
- Áp dụng tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\).
- Sử dụng tính chất góc nội tiếp bằng nhau khi chắn cùng một cung.
Ví dụ 4: Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\) có \(\angle A = 70^\circ\), \(\angle B = 50^\circ\). Tính \(\angle C\).
Lời giải
Ta sử dụng tính chất tổng hai góc đối: $\angle A + \angle C = 180^\circ.$
Thay số: $70^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 110^\circ.$
DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
Phương pháp giải
- Sử dụng tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung.
- Áp dụng tính chất của tiếp tuyến chung.
Ví dụ 5: Cho đường tròn \((O)\) với \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp. Tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) cắt nhau tại \(P\). Chứng minh rằng \(P\) thuộc đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\).
Lời giải
Do \(PA\) và \(PB\) là tiếp tuyến nên \(\angle PAB = \angle ABC\).
Tương tự, \(\angle PBA = \angle BAC\).
Suy ra tổng hai góc đối của \(PABC\) là \(180^\circ\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\).
DẠNG 6: ĐỊNH LÝ PTOLEMY VÀ ỨNG DỤNG
Phương pháp giải
- Với tứ giác nội tiếp \(ABCD\), ta có: $ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC. $
- Sử dụng để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 6: Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\) với \(AB = 3\), \(BC = 4\), \(CD = 5\), \(DA = 6\). Tính \(AC \cdot BD\).
Lời giải
Áp dụng định lý Ptolemy: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.$
Thay số: $AC \cdot BD = 3 \times 5 + 6 \times 4 = 15 + 24 = 39.$
Vậy \(AC \cdot BD = 39\).
DẠNG 7: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Phương pháp giải
Áp dụng công thức diện tích Brahmagupta: $ S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}, $ với \(p = \frac{a+b+c+d}{2}\).
Ví dụ 7: Cho tứ giác nội tiếp có các cạnh \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\), \(d = 8\). Tính diện tích tứ giác.
Lời giải
Tính nửa chu vi: $p = \frac{5+6+7+8}{2} = 13.$
Áp dụng công thức Brahmagupta:
$S = \sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)} = \sqrt{8 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{1680}.$
Vậy diện tích tứ giác là \(\sqrt{1680}\).