Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đáy song song, hai cạnh còn lại là cạnh bên. Công thức tính chu vi và diện tích hình thang là kiến thức toán học cơ bản, được ứng dụng rộng rãi trong học tập và thực tế. Việc nắm vững công thức này giúp học sinh giải các bài toán phức tạp hơn. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu các công thức quan trọng và hướng dẫn cách giải một số bài toán thường gặp.
1. Hình thang là gì?
Hình thang là một tứ giác có một cặp cạnh đối song song. Cặp cạnh song song này được gọi là hai đáy, trong khi hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên. Tổng các góc kề một cạnh bên của hình thang luôn bằng \(180^\circ\).
2. Phân loại hình thang
Hình thang được chia thành ba loại chính dựa trên tính chất của các cạnh và góc:
Hình thang thường
- Là hình thang cơ bản, không có điều kiện đặc biệt nào về cạnh hoặc góc.
Hình thang cân
- Là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.
- Hai góc kề mỗi cạnh đáy bằng nhau.
- Hai đường chéo bằng nhau.
Hình thang vuông
- Là hình thang có một góc vuông.
- Một cạnh bên vuông góc với hai đáy.
2. Tính chất của hình thang
Hình thang có một số tính chất đặc biệt, giúp phân biệt nó với các loại hình tứ giác khác.
2.1 Tính chất tổng quát
- Hình thang có một cặp cạnh đối song song (hai đáy).
- Tổng các góc trong của hình thang luôn bằng \(360^\circ\).
- Tổng hai góc kề một cạnh bên bằng \(180^\circ\).
2.2 Tính chất của từng loại hình thang
Hình thang cân:
- Hai cạnh bên bằng nhau.
- Hai góc kề mỗi cạnh đáy bằng nhau.
- Hai đường chéo bằng nhau.
Hình thang vuông:
- Có một góc vuông.
- Một cạnh bên vuông góc với hai đáy.
3. Phân dạng bài tập
Dạng 1. Nhận diện và phân loại hình thang
- Bài tập yêu cầu xác định hình thang trong một nhóm hình.
- Xác định loại hình thang: hình thang thường, hình thang cân, hình thang vuông.
- Tìm các yếu tố của hình thang: đáy lớn, đáy nhỏ, cạnh bên, đường cao.
Dạng 2. Tính chu vi hình thang
– Công thức: $ P = a + b + c + d $
Trong đó:
- \(a, b\) là hai đáy của hình thang.
- \(c, d\) là hai cạnh bên.
Ví dụ: Một hình thang có các cạnh lần lượt là 5 cm, 7 cm, 8 cm, 10 cm. Tính chu vi của hình thang.
Dạng 3. Tính diện tích hình thang
Giả sử hình thang có hình dạng như hình vẽ:
Biết: AB = a; CD = b và AH = h
Khi đó, công thức tính diện tích của hình thang là: $ S = \frac{(a + b) \times h}{2} $
Trong đó:
- \(a, b\) là hai đáy của hình thang.
- \(h\) là đường cao.
Ví dụ: Một hình thang có đáy lớn 12 cm, đáy nhỏ 8 cm và đường cao 5 cm. Tính diện tích của hình thang.
Dạng 4. Tìm đường cao của hình thang
Gọi: AB = a; CD = b và AH = h
– Sử dụng công thức tính diện tích để tìm đường cao: $ h = \frac{2S}{a + b} $
Dạng 5. Đường trung bình
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên.
Độ dài đường trung bình được tính bằng: $ d = \frac{a + b}{2} $
Trong đó: \(a, b\): Hai cạnh đáy.
Dạng 6. Tính độ dài các cạnh khi biết một số yếu tố
- Dùng công thức diện tích hoặc chu vi để tìm cạnh còn thiếu.
- Áp dụng định lý Pythagoras nếu hình thang có góc vuông.
4. Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Một hình thang có hai đáy lần lượt là \(8 \, \text{cm}\) và \(12 \, \text{cm}\), chiều cao là \(5 \, \text{cm}\). Tính diện tích hình thang.
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích: $ S = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(8 + 12) \cdot 5 = 50 \, \text{cm}^2. $
Bài toán 2: Một hình thang có hai đáy \(a = 10 \, \text{cm}\), \(b = 6 \, \text{cm}\), và hai cạnh bên \(c = 5 \, \text{cm}\), \(d = 7 \, \text{cm}\). Tính chu vi hình thang.
Lời giải
Áp dụng công thức tính chu vi: $ P = a + b + c + d = 10 + 6 + 5 + 7 = 28 \, \text{cm}. $
Bài toán 3: Một hình thang có hai đáy \(a = 14 \, \text{cm}\) và \(b = 10 \, \text{cm}\). Tính độ dài đường trung bình.
Lời giải
Áp dụng công thức tính đường trung bình: $ d = \frac{a + b}{2} = \frac{14 + 10}{2} = 12 \, \text{cm}. $