Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12 và là dạng toán xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT. Để giải tốt chuyên đề này, học sinh cần nắm vững các phương pháp xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên cũng như nhận biết các dạng bài tập thường gặp.
Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp đầy đủ các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo phương pháp giải, công thức cần nhớ và các ví dụ minh họa chi tiết. Thông qua việc luyện tập theo từng dạng bài, học sinh sẽ củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng xử lý nhanh các câu hỏi về tiệm cận và nâng cao hiệu quả ôn thi.
1. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = – \infty \).
Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 – x}}{{x + 2}}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{3x – 2}}{{x + 2}} = + \infty \).
Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.
2. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = {y_0}\).
Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x – 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3x – 2}}{{x + 1}} = 3\).
Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0\).
Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\).
Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.