Các câu trắc nghiệm trả lời ngắn về tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là dạng bài tập giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy độc lập và tính toán chính xác. Không còn các phương án lựa chọn để suy luận hoặc loại trừ, người học phải trực tiếp vận dụng kiến thức về giới hạn, điều kiện xác định của hàm số và các quy tắc tìm tiệm cận để đưa ra đáp án cuối cùng. Đây cũng là dạng câu hỏi thường được sử dụng trong các đề thi nhằm đánh giá mức độ hiểu bản chất vấn đề thay vì chỉ ghi nhớ công thức.
Bộ câu trắc nghiệm trả lời ngắn dưới đây tập trung vào các dạng toán tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao. Thông qua quá trình luyện tập, bạn sẽ nắm vững phương pháp xác định tiệm cận, nhận diện nhanh các trường hợp đặc biệt và nâng cao kỹ năng xử lý bài toán trong thời gian ngắn. Đây là nguồn tài liệu hữu ích giúp học sinh củng cố kiến thức và tự tin hơn khi gặp các câu hỏi về tiệm cận trong các kỳ thi quan trọng.
Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{a\,x+1}{bx-2}$ có tiệm cận đứng là $x=2$ và tiệm cận ngang là $y=3$. Tính giá trị biểu thức $a-2b$
Lời giải
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm $y=\frac{a\,x+1}{bx-2}$ là: $x=\frac{2}{b}$.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm $y=\frac{a\,x+1}{bx-2}$ là: $y=\frac{a}{b}$.
Theo giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{b} = 2\\ \frac{a}{b} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 1 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow a – 2b = 3 – 2.1 = 1$
Câu 2: Gọi $I\left( a;\,b \right)$ là giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$. Tính $T=a+b$
Lời giải
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.
$\centerdot \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=1$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=1$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
$\centerdot \left\{ \begin{align} & \underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \\ & \underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \\ \end{align} \right.$
nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$.
Vậy giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là điểm $I\left( -2;1 \right)$ nên $T=-2+1=-1$
Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}-9x}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-5x-3}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right)$ là bao nhiêu?
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;3 \right\}$ và có$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=1$ nên đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang
• $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{\left( x-3 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}=-\infty $ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng
$\centerdot $$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{\left( x-3 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$ nên đường thẳng $x=3$ không là tiệm cận đứng.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right)$ là $2$.
Câu 4: Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+3}$ và các trục tọa độ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $x=-3$;
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=2$.
Hai đường tiệm cận tạo với các trục tọa độ một hình chữ nhât có chiều dài bằng $3$, chiều rộng bằng $2$.
Diện tích hình chữ nhật: $S=2.3=6$.
Câu 5: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{ax-5}{x+b}\,\,\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)$ có bảng biến thiên như sau
Tính giá trị biểu thức ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
Lời giải
Từ bảng biến thiên, suy ra đường tiệm cận đứng là: $x=2$ và đường tiện cận ngang là: $y=1$.
Từ hàm số $f\left( x \right)=\frac{ax-5}{x+b}\,\,\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)$ suy ra đồ thị hàm số có ra đường tiệm cận đứng là: $x=-b$ và đường tiện cận ngang là: $y=a$.
Do đó ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} – b = 2\\ a = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = – 2\\ a = 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5 \end{array}$
Câu 6: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tích các khoảng cách từ điểm $M$ bất kì thuộc $\left( C \right)$ đến hai đường tiệm cận bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng là ${{\Delta }_{1}}:x=-1\Leftrightarrow x+1=0$
Đường tiệm cận ngang là ${{\Delta }_{2}}:y=2\Leftrightarrow y-2=0$.
Giả sử $M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}+1} \right)\in \left( C \right),{{x}_{0}}\ne -1$.
Ta có: $d\left( M;{{\Delta }_{1}} \right)=\left| {{x}_{0}}+1 \right|$ và $d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)=\left| \frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}+1}-2 \right|=\frac{3}{\left| {{x}_{0}}+1 \right|}$.
Suy ra $d\left( M;{{\Delta }_{1}} \right).d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)=\left| {{x}_{0}}+1 \right|.\frac{3}{\left| {{x}_{0}}+1 \right|}=3$.
Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $M(a;\,b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ dương sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận của $\left( C \right)$ nhỏ nhất. Khi đó tổng $a+2b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đường tiệm cận ngang $y=2$ và đường tiệm cận đứng $x=1$. Khi đó:
Khoảng cách từ $M\left( a;\,b \right)$ đến tiệm cận ngang là: $\left| b-2 \right|=\left| \frac{2a-1}{a-1}-2 \right|=\frac{1}{\left| a-1 \right|}$ (do $M\in $$\left( C \right)$)
Khoảng cách từ $M\left( a;\,b \right)$ đến tiệm cận đứng là: $\left| a-1 \right|$.
Ta có $\left| a-1 \right|+\frac{1}{\left| a-1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| a-1 \right|\frac{1}{\left| a-2 \right|}}=2$.
Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất là $2$ khi $\left| a-1 \right|=\frac{1}{\left| a-1 \right|}$.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {a^2} – 2a = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\left( {loai} \right)\\ a = 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow b = \frac{{2.2 – 1}}{{2 – 1}} = 3\\ \Rightarrow a + 2b = 8 \end{array}$
Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{2x-3}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận ngang bằng $10$ lần khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận đứng.
Lời giải
Ta có các đường thẳng $x=\frac{3}{2}$ và $y=1$ lần lượt là đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số mà $M\in \left( C \right)\Rightarrow M\left( x\,;\,\,\frac{2x+2}{2x-3}\, \right)$ với $x\ne \frac{3}{2}$.
Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận đứng bằng $\left| x-\frac{3}{2} \right|=\frac{\left| 2x-3 \right|}{2}$.
Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận ngang bằng $\left| \frac{2x+2}{2x-3}-1 \right|=\frac{5}{\left| 2x-3 \right|}$.
Khi đó:
$\begin{array}{l} \frac{5}{{\left| {2x – 3} \right|}} = 10.\frac{{\left| {2x – 3} \right|}}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x – 3} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 12x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} M\left( {2;6} \right)\\ M\left( {1; – 4} \right) \end{array} \right. \end{array}$
Câu 9: Cho đồ thị hai hàm số $f\left( x \right)=\frac{x+1}{x-1}$ và $g\left( x \right)=\frac{ax+1}{x-2}$,$a\ne -\frac{1}{2}$. Tìm giá trị thực dương của $a$ để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là $4$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\frac{x+1}{x-1}$ có hai đường tiệm cận là $x=1$ và $y=1$.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\frac{ax+1}{x-2}$ có hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=a$.
Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước lần lượt là $1$ và $\left| a-1 \right|$.
Theo giả thiết, ta có $\left| a-1 \right|.1=4$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=5 \\ & a=-3 \\ \end{align} \right.$. Vì $a>0$ nên chọn $a=5$.
Câu 10: Cho hàm số $y=\frac{a{{x}^{2}}+x-1}{4{{x}^{2}}+bx+9}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và $a$, $b$ là các hằng số dương thỏa mãn $a.b=4$. Biết rằng $\left( C \right)$ có đường tiệm cận ngang $y=c$ và có đúng $1$ đường tiệm cận đứng. Tính tổng $T=3a+b-24c$.
Lời giải
Theo giả thiết $a>0$, $b>0$.
Với $ab=4$ ta có $y=\frac{a{{x}^{2}}+x-1}{4{{x}^{2}}+bx+9}=\frac{\frac{4}{b}{{x}^{2}}+x-1}{4{{x}^{2}}+bx+9}=\frac{4{{x}^{2}}+bx-b}{b\left( 4{{x}^{2}}+bx+9 \right)}=\frac{1}{b}-\frac{b+9}{b\left( 4{{x}^{2}}+bx+9 \right)}$.
Đồ thị $\left( C \right)$ có đúng $1$ đường tiệm cận đứng nên $4{{x}^{2}}+bx+9=0$ có nghiệm kép
Suy ra $\Delta ={{b}^{2}}-4.4.9=0\Leftrightarrow b=12$ (do $b>0$).
Ta có $ab=4$ suy ra $a=\frac{1}{3}$; $c=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{2}}+x-1}{4{{x}^{2}}+bx+9}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{4+\frac{b}{x}+\frac{9}{{{x}^{2}}}}=\frac{a}{4}$ suy ra $c=\frac{1}{12}$.
Vậy $T=3a+b-24c=11$.