Tìm khoảng đơn điệu của hàm số là dạng bài quen thuộc và xuất hiện thường xuyên trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Khi đề bài đã cho sẵn bảng biến thiên hoặc đồ thị, học sinh không cần tính đạo hàm mà chỉ cần biết cách đọc dữ liệu để suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến một cách chính xác. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết, phân loại 4 dạng toán thường gặp kèm ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và bài tập tự luyện có đáp án.
I. Lý thuyết cần nhớ
1. Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x)>0,\ \forall x\in K$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x)<0,\ \forall x\in K$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x)=0,\ \forall x\in K$ thì hàm số không đổi trên khoảng $K$.
2. Hình dáng đồ thị
- Nếu hàm số đồng biến trên $K$ thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.
- Nếu hàm số nghịch biến trên $K$ thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.
3. Lưu ý quan trọng
- Tính đơn điệu được xét trên cả một khoảng, không xét tại một điểm.
- Nếu $f'(x)=0$ tại một số điểm hữu hạn (cô lập) trong $K$ mà $f'(x)$ không đổi dấu xung quanh đó, thì không ảnh hưởng đến tính đơn điệu của hàm số trên $K$.
- Đối với đồ thị hàm $f'(x)$: phần đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ ứng với $f'(x)>0$ (hàm $f(x)$ đồng biến); phần đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ ứng với $f'(x)<0$ (hàm $f(x)$ nghịch biến).
II. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: Đọc bảng biến thiên của $f(x)$
Phương pháp: Quan sát dòng $f'(x)$ — nơi nào $f'(x)>0$ thì $f(x)$ đồng biến (mũi tên đi lên), nơi nào $f'(x)<0$ thì $f(x)$ nghịch biến (mũi tên đi xuống).
Ví dụ 1. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $(-\infty;-1)$ B. $(0;1)$ C. $(-1;1)$ D. $(-1;0)$
Lời giải
Quan sát dòng $f'(x)$: ta thấy $f'(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$. Đối chiếu các đáp án, ta thấy khoảng $(-1;0)$ ứng với đáp án D.
Chọn D.
DẠNG 2: Đọc bảng xét dấu của $f'(x)$ (không có giá trị $f(x)$)
Phương pháp: Tương tự Dạng 1, nhưng bảng chỉ cho dấu của $f'(x)$, không có dòng giá trị hàm số — ta vẫn đọc trực tiếp dấu để kết luận.
Ví dụ 2. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$
Lời giải
Từ bảng xét dấu: $y’>0$ trên $(-\infty;-2)$ và $(2;+\infty)$; $y'<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$ (vì $y’=0$ chỉ tại điểm cô lập $x=0$, không đổi dấu qua đó nên không ảnh hưởng tính đơn điệu trên cả khoảng $(-2;2)$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-2;2)$, suy ra nghịch biến trên $(0;2)$.
Chọn D.
(Lưu ý: đây là điểm dễ nhầm — nhiều học sinh chọn B vì thấy dấu “−” ngay sau $-2$ mà quên xét liên tục cả đoạn $(-2;2)$.)
DẠNG 3: Đọc đồ thị của hàm đạo hàm $y=f'(x)$
Phương pháp:
- Quan sát đồ thị $f'(x)$ so với trục $Ox$.
- Đoạn nào đồ thị $f'(x)$ nằm phía trên trục $Ox$ (tức $f'(x)>0$) → hàm $f(x)$ đồng biến trên đoạn tương ứng.
- Đoạn nào đồ thị $f'(x)$ nằm phía dưới trục $Ox$ (tức $f'(x)<0$) → hàm $f(x)$ nghịch biến trên đoạn tương ứng.
- Hoành độ các giao điểm của đồ thị $f'(x)$ với trục $Ox$ chính là các điểm mà tại đó hàm số $f(x)$ có thể đổi chiều biến thiên (nghi vấn cực trị).
Ví dụ 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết đồ thị hàm số $y=f'(x)$ cắt trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x=-1,\ x=2$, đồng thời:
- $f'(x)<0$ với $x\in(-\infty;-1)$,
- $f'(x)>0$ với $x\in(-1;2)$,
- $f'(x)<0$ với $x\in(2;+\infty)$.
Hỏi hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. $(-\infty;-1)$ B. $(-1;2)$ C. $(2;+\infty)$ D. $(-\infty;2)$
Lời giải
Theo giả thiết, $f'(x)>0$ trên khoảng $(-1;2)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng này.
Chọn B.
(Lưu ý: học sinh cần phân biệt rõ — đề cho đồ thị của $f'(x)$ thì phải xét vị trí đồ thị so với trục Ox để suy dấu, khác hoàn toàn với Dạng 3 (đề cho đồ thị $f(x)$ thì xét trực tiếp chiều lên/xuống của đồ thị).
III. Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
A. $(-1;1)$.
B. $(0;1)$.
C. $(4;+\infty)$.
D. $(-\infty;2)$.
Lời giải
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.
Câu 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(0;2)$.
B. $(0;+\infty)$.
C. $(-2;0)$.
D. $(2;+\infty)$.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(0;2)$ thì $f'(x)<0$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-1;+\infty)$.
B. $(1;+\infty)$.
C. $(-1;1)$.
D. $(-\infty;1)$.
Lời giải
Chọn B
Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty;-1)$
B. $(-1;1)$
C. $(-1;0)$
D. $(0;1)$
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$. Chọn C
Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-2;3)$
B. $(3;+\infty)$
C. $(-\infty;-2)$
D. $(-2;+\infty)$
Lời giải
Chọn A
Câu 6. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty;0)$.
B. $(1;3)$.
C. $(0;2)$.
D. $(0;+\infty)$.
Lời giải
Chọn C
Xét đáp án A, trên khoảng $(-\infty;0)$ đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Xét đáp án B, trên khoảng $(1;3)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Xét đáp án C, trên khoảng $(0;2)$ đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn.
Xét đáp án D, trên khoảng $(0;+\infty)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.