Tiệm cận của đồ thị hàm số là một trong những chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT. Để giải nhanh các dạng toán liên quan đến tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên, học sinh cần nắm vững lý thuyết cũng như rèn luyện kỹ năng nhận dạng qua nhiều dạng bài khác nhau.
Bộ bài tập trắc nghiệm tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dưới đây được biên soạn theo cấu trúc thường gặp trong các đề kiểm tra và đề thi chính thức. Các câu hỏi được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh củng cố kiến thức, nâng cao khả năng phân tích đồ thị và thành thạo các phương pháp xác định tiệm cận của hàm số một cách chính xác và nhanh chóng.
Câu 1: Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}$ có đường tiệm cận ngang là:
A. $y=2$.
B. $y=0$.
C. $y=1$.
D. $y=-2$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 2 \right\}$
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=0$ suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=0$.
Câu 2: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$ có phương trình
A. $y=2$.
B. $y=3$.
C. $y=1$.
D. $y=0$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$ nên $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 3: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?
A. $y={{x}^{3}}-x-1$.
B. $y=\sqrt{2{{x}^{2}}+3}$.
C. $y=\frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+1}$.
D. $y=\frac{3{{x}^{2}}+2x-1}{4{{x}^{2}}+5}$.
Lời giải
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+2x+1}{4{{x}^{2}}+5}=\frac{3}{4}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=\frac{3}{4}$.
Câu 4: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-2}$ là:
A. $x=2$.
B. $x=-2$.
C. $y=-2$.
D. $y=2$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ và $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-2}=+\infty \Rightarrow $TCĐ: $x=2$.
Câu 5: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3}{x+2}$ là
A. $x=-2$.
B. $x=0$.
C. $x=3$.
D. $y=0$.
Lời giải
Tập xác đinh $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.
$\bullet \underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=$ $\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{x+2}=+\infty $; $\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y$$=\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{x+2}=-\infty $ suy ra $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+6}{x-2}$ là đường thẳng
A. $x=3$.
B. $x=-2$.
C. $x=-3$.
D. $x=2$.
Lời giải
Ta có$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+6}{x-2}=+\infty $, $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+6}{x-2}=-\infty $ nên đường thẳng $x=2$là tiệm cận đứng.
Câu 7: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{x-1}$ là đường thẳng :
A. $x=1$
B. $y=2$
C. $x=0$
D. $y=0$
Lời giải
Ta có:$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{x-1}=0;\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{x-1}=0$. Vậy đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 8: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $0$.
Lời giải
Quan sát bảng biến thiên ta có $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$.
Câu 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left( -\infty ;0 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.
Lời giải
Vì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì $\left\{ \begin{align} & \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \\ & \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \\ \end{align} \right.$
nên $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Câu 10:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
Lời giải
Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,y=2,\,\underset{x\to {{0}^{\left( + \right)}}}{\mathop{\lim }}\,\,y=+\infty $ nên hàm số có tiệm cận ngang là $y=2$ và tiệm cận
đứng là $x=0$.
Câu 11:Cho hàm số$y=f\left( x \right)$có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có$2$đường tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang$y=4$.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng$x=0$.
Lời giải
Từ BBT của hàm số$y=f\left( x \right)$ta có:$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty $nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
Và$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=4,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=4,\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1,\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1$ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.
Câu 12:Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau:
Hỏi đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
Lời giải
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow x=-1$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-1\Rightarrow y=-1$ là tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 13:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$, có bảng biến thiên như sau.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y=-1$ và tiệm cận ngang $x=-2$.
B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$.
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-2\Rightarrow $ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-2$.
$\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow $đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$.
Câu 14:Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}$ là
A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
Lời giải
Tập xác định: $\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1\, \right\}$.
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1} \right)=$ $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=2\Rightarrow $đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y=2$.
$\centerdot \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1} \right)=+\infty $ suy ra đồ thị có đường tiệm cận đứng là $x=-1$.
$\centerdot \underset{x\to {{\left( 1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\left( 1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1} \right)=\frac{1}{2}$; $\underset{x\to {{\left( 1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\left( 1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1} \right)=\frac{1}{2}$
Suy ra $x=1$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Câu 15: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}$ là
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$
$\centerdot \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$
$\centerdot \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$
$\centerdot \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=-\infty $
$\centerdot \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=+\infty $
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận tiệm cận đứng $x=-1$ nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận
Câu 16:Cho hàm số $y=\frac{2{{x}^{2}}+x-1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $\left( C \right)$ là
A. $0$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Lời giải
Ta có: $\frac{2{{x}^{2}}+x-1}{x-1}=2x+3+\frac{2}{x-1}$.
$\centerdot \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+3+\frac{2}{x-1} \right)=-\infty $ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+3+\frac{2}{x-1} \right)=+\infty $, suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
$\centerdot \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+x-1}{x-1}=-\infty $ và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+x-1}{x-1}=+\infty $, suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$.
Câu 17:Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-1}$ bằng
A. $3$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $1$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\left( 1\,;\,+\infty \right)$.
Ta có:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 2} \right)\sqrt {x – 1} }}{{{x^2} – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x – 1} }} = – \infty \end{array}$
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim y}}\,=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-1}=0$
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-1}$ có một tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ và một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
Câu 18:Đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1\,;\,1 \right\}$.
Ta có:
$\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1} \right)=\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$.
$\underset{x\to -{{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-1} \right)=\underset{x\to -{{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\underset{x\to -{{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+1}=\mp \infty $.
Hàm số có tiệm cận đứng là $x=-1$.
Câu 19:Đồ thị của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-1}{3-2x-5{{x}^{2}}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Lời giải
Ta có $-5{{x}^{2}}-2x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=\frac{3}{5} \\ \end{align} \right.$.
Với $x=-1$ thì ${{x}^{2}}-1=0$ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x=\frac{3}{5}$.
Câu 20:Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-\left| x \right|-2}{{{x}^{2}}-2x-8}$ là
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Lời giải
Ta có:
$y=\frac{{{x}^{2}}-\left| x \right|-2}{{{x}^{2}}-2x-8}$ $\Leftrightarrow y=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-x-2}{{{x}^{2}}-2x-8}\,\,\,\,khi\,x\ge 0 \\ & \frac{{{x}^{2}}+x-2}{{{x}^{2}}-2x-8}\,\,\,\,khi\,x<0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow y=\left\{ \begin{align} & \frac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)}\,\,\,\,khi\,x\ge 0 \\ & \frac{\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)}\,\,\,\,khi\,x<0 \\ \end{align} \right.$ Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;4 \right\}$.
$\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-\left| x \right|-2}{{{x}^{2}}-2x-8}=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)}\,=+\infty $
$\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-\left| x \right|-2}{{{x}^{2}}-2x-8}=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)}\,=-\infty $$\Rightarrow x=4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-\left| x \right|-2}{{{x}^{2}}-2x-8}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-4 \right)}\,=\frac{1}{2}$$\Rightarrow x=-2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận đứng.
Câu 21:Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}$ là:
A. $2$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $0$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;-2 \right\}$
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{4}{{{x}^{2}}}}=\frac{0}{1}=0$, $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{4}{{{x}^{2}}}}=\frac{0}{1}=0.$
Nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y=0$.
Mà $\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+2}=+\infty $;$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$; $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$.
Nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x=-2$.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là $2$.
Câu 22:Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x_{{}}^{2}-2x-3}$. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. $2$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $1$.
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;\,3 \right\}$.
$y=\frac{x+1}{x_{{}}^{2}-2x-3}=\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}=\frac{1}{x-3}$.
Vì$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=0$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=0$ nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì $\underset{x\to 3_{{}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 3_{{}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=+\infty $ và $\underset{x\to 3_{{}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 3_{{}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=-\infty $ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là $2$.
Câu 23:Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}$ là:
A. $4$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{2}{x}-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=3$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{2}{x}-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=3$, suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=3$.
$\centerdot \frac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{\left( 3x+1 \right)\left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}=\frac{3x+1}{x+1}$.
$\centerdot \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{x+1}=-\infty $ và $\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{x+1}=+\infty $, suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=-1$
Vậy tổng số đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số là $2$.
Câu 24:Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}$ là
A. $3$.
B. $2$.
C. $0$.
D. $1$.
Lời giải
Tập xác định $D=\left[ -9\,;\,\,+\infty \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0\,;\,-1 \right\}$
$\begin{array}{l} \mathop {\lim y}\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9} + 3} \right)}} = \frac{1}{6} \end{array}$
$x=0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\left\{ \begin{align} & \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=+\infty \\ & \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=-\infty \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 25:Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}$
A. $4$.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 2 \right\}$
Ta có $\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}=\frac{\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)}{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)}=\frac{-\left( x-1 \right)}{2+x}=\frac{1-x}{x+2}$
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{4 – {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {2 – x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{1 – x}}{{2 + x}} = + \infty \end{array}$
suy ra đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng.
$\centerdot \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\left( x-1 \right)}{2+x}=-1$ suy ra đường thẳng $y=-1$là tiệm cận ngang.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2$.
Câu 26: Tổng số đường tiện cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x}$ là
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;1 \right\}$.
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang
$\centerdot \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y=\infty $ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
$\centerdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,y=\infty $ nên $x=0$ là tiệm cận đứng.
Vậy có ba đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 27: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}-4}$ có phương trình là
A. $y=-2$.
B. $y=2$.
C. $y=0$.
D. $y=-1$.
Lời giải
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{{{x}^{2}}-4}=0$
Vậy đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 28:Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số$y=\frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}$.
A. 0.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Lời giải
Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x+4 \right)\left( x-4 \right)}$.
$\centerdot \underset{x\to {{\left( -4 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow x=-4$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
$\centerdot \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,y=\frac{5}{8}\Rightarrow x=4$ không là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy đồ thị có 1 tiệm cận đứng.
Câu 29:Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x-4}{{{x}^{2}}-16}$
A. $0$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.
Lời giải
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = – \infty \end{array}$
(vì $\underset{x\to {{\left( -4 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=-3$ và $\underset{x\to {{\left( -4 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+4 \right)=0$)
\[\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ – }} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \end{array}\]
(vì $\underset{x\to {{\left( -4 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=-3$ và $\underset{x\to {{\left( -4 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+4 \right)=0$)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-4$
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \end{array}$
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \end{array}$
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng $x=-4$.
Câu 30:Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{2{{x}^{2}}-2x}$ là:
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\left( -\infty ;\,-\frac{1}{2} \right]\cup \left[ \frac{1}{2};\,1 \right)\cup \left( 1;\,+\infty \right)$
Tiệm cận đứng: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{2x\left( x-1 \right)}=+\infty $
( Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2} \right) = 5 + \sqrt 3 > 0;$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \left( {2x\left( {x – 1} \right)} \right) = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x\left( {x – 1} \right) > 0,\forall x > 1$)
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{2x\left( x-1 \right)}=-\infty $
( Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2} \right) = 5 + \sqrt 3 > 0;$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\mkern 1mu} \left( {2x\left( {x – 1} \right)} \right) = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x\left( {x – 1} \right) < 0,\forall x:0 < x < 1$)
Suy ra đường thẳng $x=1$ là đường tiệm cận đứng.
Skip to PDF content