Các bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số là một dạng toán vận dụng thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi đánh giá năng lực. Không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hay tiệm cận xiên, dạng toán này còn đòi hỏi khả năng phân tích ảnh hưởng của tham số đến số lượng và vị trí các đường tiệm cận của đồ thị.
Bộ câu hỏi trắc nghiệm dưới đây được tuyển chọn theo các dạng bài thường gặp, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét điều kiện của tham số, xác định số đường tiệm cận và giải quyết nhanh các câu hỏi vận dụng. Thông qua việc luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ nâng cao khả năng tư duy, hạn chế sai sót và tự tin chinh phục các câu hỏi về tiệm cận trong các kỳ thi quan trọng.
Câu 1: Giá trị $m$ để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+2m-1}{x+m}$ đi qua điểm $M\left( 3;1 \right)$ là
A. $m=-3$.
B. $m=-1$.
C. $m=2$.
D. $m=3$.
Lời giải
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( 3;1 \right)$ nên đồ thị hàm có tiệm cận đứng là $x=3$
Suy ra $x+m=0$ có nghiệm là $3$ do vậy $3+m=0\Leftrightarrow m=-3$.
Thử lại, với $m=-3\Rightarrow y=\frac{2x-7}{x-3}$ có $\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-3}=-\infty $ và $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-3}=+\infty $.
Vậy $m=-3$.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{2x+4}{x-m}$ có tiệm cận đứng?
A. $m>-2$.
B. $m=-2$.
C. $m<-2$.
D. $m\ne -2$.
Lời giải
Để $x=m$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)}=\frac{2x+4}{x-m}$ thì $\left\{ \begin{align} & v\left( m \right)=0 \\ & u\left( m \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m – m = 0\\ 2m + 4 \ne 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 = 0\\ m \ne – 2 \end{array} \right. \Rightarrow m \ne – 2$
Câu 3: Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ -2025\,;\,2025 \right]$ để đồ thị hàm số $y=\frac{2x+4}{x-m}$ có tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung là
A. $2020$.
B. $2025$.
C. $4041$.
D. $4042$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y=\frac{2x+4}{x-m}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=m$ nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow m<0$. $\left\{ \begin{align} & m\in \left[ -2025\,;\,2025 \right] \\ & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -2025\,;\,-2020\,;\,…\,;\,-1 \right\}$.
Vậy có $2025$giá trị nguyên của $m$ thoả mãn yêu cầu.
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[ -10;10 \right]$ sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+4x-m-3}$ có hai đường tiệm cận đứng?
A. 19.
B. 15.
C. 16.
D. 17.
Lời giải
Ta có đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+4x-m-3}$ có hai đường tiệm cận đứng khi phương trình ${{x}^{2}}+4x-m-3$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{2}^{2}}-\left( -m-3 \right)>0 \\ & {{1}^{2}}+4.1-m-3\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-7 \\ & m\ne 2 \\ \end{align} \right.$
Từ đó ta suy ra $m=\left\{ -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\}$.
Vậy có 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Câu 5: Cho đồ thị hàm số $y=\frac{\left( 2m-n \right){{x}^{2}}+mx+1}{{{x}^{2}}+mx+n-6}$ nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị $m+n$ là
A. $8$.
B. $9$.
C. $6$.
D. $-6$.
Lời giải
Điều kiện: ${{x}^{2}}+mx+n-6\ne 0$.
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=2m-n$.
Vì đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang nên $2m-n=0$.
Đặt $f\left( x \right)=\left( 2m-n \right){{x}^{2}}+mx+1$ và $g\left( x \right)={{x}^{2}}+mx+n-6$.
Vì $f\left( 0 \right)\ne 0$ với mọi $m$, $n$ nên đồ thị nhận trục tung $x=0$ là tiệm cận đứng khi $g\left( 0 \right)=0$$\Leftrightarrow n=6$. Suy ra $m=\frac{n}{2}=3$. Vậy $m+n=9$.
Câu 6: Số giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-2x+m}$ có đúng ba đường tiệm cận.
A. $5$.
B. Vô số.
C. $3$.
D. $4$.
Lời giải
$\centerdot $ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-2x+m}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0.$
Vậy để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-2x+m}$ có đúng ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $-1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \ge 0\\ \left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) > 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 – m > 0\\ m + 2 + 1 > 0\\ 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 < m < 1.$ Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}.$
Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-2mx-m-2}$. Biết với $m=\frac{a}{b}$($a,b\in \mathbb{N}$, $\frac{a}{b}$ tối giản) thì đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận. Tính $a+b$.
A. $a+b=7$.
B. $a+b=5$.
C. $a+b=8$.
D. $a+b=6$.
Lời giải
Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì hoặc phương trình ${{x}^{2}}-2mx-m-2=0$ có nghiệm kép $x=2$ hoặc phương trình ${{x}^{2}}-2mx-m-2=0$phải có hai nghiệm (một nghiệm ${{x}_{1}}=2$ và một nghiệm ${{x}_{2}}\ne 2$).
Do ${\Delta }’={{m}^{2}}+m+2>0,\forall m$nên ta chỉ xét trường hợp thứ hai phương trình ${{x}^{2}}-2mx-m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt. Thay $x=2$ vào phương trình ta được $m=\frac{2}{5}$ (thỏa mãn).
Vậy $a=2,b=5,a+b=7$.
Câu 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số để đồ thị hàm số $y=\frac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$có đúng 2 tiệm cận?
A. $2$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $3$.
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{m-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}=m\Rightarrow y=m$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số $y=\frac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$có đúng 2 tiệm cận $\Leftrightarrow $$y=\frac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$có đúng 1 tiệm cận đứng. Ta có: ${{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow $$\left[ \begin{align} & m{{.1}^{2}}-1=0 \\ & m{{.2}^{2}}-1=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow $$\left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.$.
Vậy có 2 giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 9: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2}$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có đúng 2 đường tiệm cận?
A. $2$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $3$.
Lời giải
Trường hợp 1: $m=0$, ta được hàm số $y=\frac{x-2}{2x-2}$, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$; tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$(thỏa mãn).
Trường hợp 2: $m\ne 0$, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Xét phương trình: $m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2=0\,\left( m\ne 0 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{m-2}{m} \\ \end{align} \right.$.
Để đồ thị hàm số $\left( {{C}_{m}} \right)$ có đúng 2 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số $\left( {{C}_{m}} \right)$ chỉ có 1 tiệm cận đứng
$\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2=0$ hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2 hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \frac{m-2}{m}=2 \\ & \frac{m-2}{m}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 10: Cho đường cong $\left( C \right):\,y=\frac{x+a}{x-1}$. Biết điểm $M$ thuộc $\left( C \right)$. Tính tổng các giá trị của tham số $a$ để tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ tạo với hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ một tam giác có diện tích bằng $3\sqrt{2}+2$.
A. $3\sqrt{2}-2$.
B. $6$.
C. $-2$.
D. $\frac{3\sqrt{2}-4}{2}$.
Lời giải
Tiệm cận đứng $x=1$; tiệm cận ngang $y=1$. Ta có: ${f}’\left( x \right)=\frac{-1-a}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
Phương trình tiếp tuyến tại$M$ của $\left( C \right)$là $\left( d \right):\,y=\frac{-1-a}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+a}{{{x}_{0}}-1}$
Giao điểm của $\left( d \right)$ với tiệm cận đứng: $A\left( 1;\frac{{{x}_{0}}+2a+1}{{{x}_{0}}-1} \right)$
Giao điểm của $\left( d \right)$ với tiệm cận ngang: $B\left( 2{{x}_{0}}-1;1 \right)$
Giao hai đường tiệm cận của$\left( C \right)$: $I\left( 1;1 \right)$. Khi đó: $IA=\left| \frac{2a+2}{{{x}_{0}}-1} \right|$; $IB=2\left| {{x}_{0}}-1 \right|$.
Ta có: ${{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}IA.IB$$=\left| 2a+2 \right|$$=3\sqrt{2}+2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ & a=\frac{-3\sqrt{2}-4}{2} \\ \end{align} \right.$
Vậy tổng cần tìm là $-2$.
Skip to PDF content