Tiệm cận là một trong những nội dung quan trọng trong chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, kỳ thi tốt nghiệp THPT và các đề thi đánh giá năng lực. Để xác định chính xác tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hay tiệm cận xiên của một hàm số, học sinh cần nắm vững các định nghĩa, điều kiện tồn tại và phương pháp tính giới hạn liên quan.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng luyện tập các bài tập tự luận tìm tiệm cận của đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao. Mỗi bài toán đều được trình bày lời giải chi tiết, giúp bạn hiểu rõ cách nhận dạng các dạng bài thường gặp, vận dụng linh hoạt các kiến thức về giới hạn và hàm số để tìm tiệm cận một cách nhanh chóng và chính xác.
Bài tập 1: Xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cho bởi công thức sau:
a) $y=f\left( x \right)=\frac{3x-2}{x+1}$
b) $y=f\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}$
Lời giải
a) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=3$.
Tương tự, $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=3$.
Vậy đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.
b) Ta có:
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} = 1; \end{array}$
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} \left( { – \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} \left( { – \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = – 1. \end{array}$
Vậy đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$.
Bài tập 2: Xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cho bởi công thức sau:
a) $y=f\left( x \right)=\frac{3-x}{x+2}$.
b) $y=f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2}{x}$
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-x}{x+2}=+\infty $.
Tương tự, $\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $.
Vậy đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$.
b) Ta có: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2}{x}=+\infty $.
Tương tự, $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $.
Vậy đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=0$.
Bài tập 3: Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cho bởi công thức sau:
a) $y=\frac{2x-1}{x+1}$
b) $y=\frac{2x-3}{1-2x}$
c) $y=\frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-1}$
d) $y=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$
Lời giải
a) Xét $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x+1}=-\infty $ (hoặc $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x+1}=-\infty $) nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng.
Xét $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x+1}=2$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang
b) Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{1-2x}=-1$ suy ra $y=-1$ là tiệm cận ngang
Xét $\left\{ \begin{align} & \underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{1-2x}=+\infty \\ & \underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{1-2x}=-\infty \\ \end{align} \right.$ suy ra $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng
c) Điều kiện xác định $x\ne \pm 1$ $\left\{ \begin{align} & \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-1}=1 \\ & \underset{x\to -{{\left( 1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-1}=+\infty \\ & \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{2}}-1}=-\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.$
nên hàm số có tiệm cận ngang là $y=1$ và một tiệm cận đứng $x=-1$
d) Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;\,2 \right\}$
$\bullet \,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=0$ suy ra $y=0$ là tiệm cận ngang
$\bullet \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}=+\infty $ và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên $x=1$ là đường TCĐ
$\bullet \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}=-\infty $ và $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $ nên $x=2$ là đường TCĐ
Skip to PDF content