Tiệm cận của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng nhưng cũng dễ gây nhầm lẫn đối với nhiều học sinh khi làm bài thi. Chỉ cần bỏ sót một điều kiện xác định, tính sai giới hạn hoặc hiểu chưa đúng bản chất của tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hay tiệm cận xiên, bạn rất dễ đưa ra những nhận định sai. Chính vì vậy, dạng bài tập trắc nghiệm đúng sai được xem là công cụ hiệu quả giúp kiểm tra mức độ hiểu sâu kiến thức thay vì chỉ áp dụng công thức tìm tiệm cận một cách máy móc.
Bộ bài tập trắc nghiệm đúng sai tìm tiệm cận của đồ thị hàm số dưới đây được biên soạn theo định hướng đánh giá năng lực mới, bám sát cấu trúc đề thi hiện hành. Mỗi câu hỏi đều khai thác những tình huống thường gặp, những lỗi sai phổ biến và các dạng nhận định dễ gây nhiễu. Thông qua việc phân tích chi tiết từng phát biểu, bạn sẽ củng cố kiến thức, rèn luyện tư duy phản biện toán học và tự tin hơn khi chinh phục các câu hỏi về tiệm cận trong các kỳ thi quan trọng.
Câu 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
a) $f\left( -5 \right)<f\left( 4 \right)$
b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $2$
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$
d) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
Lời giải
a) Đúng: Từ bảng biến thiên ta thấy $f\left( -5 \right)<2$ và $f\left( 4 \right)>2$ nên $f\left( -5 \right)<f\left( 4 \right)$
b) Sai: Do$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên hàm số có không có giá trị nhỏ nhất.
c) Đúng: Do$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$
d) Sai: Do$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=2$
Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{5-4x}{2x+3}$ có đồ thị là $\left( C \right)$
a) Hàm số đã cho không có cực trị
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-3$
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-2$
d) Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một hình chữ nhật có diện tích bằng $3$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{3}{2} \right\}$
$\centerdot \underset{x\to -{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,;\,\,\underset{x\to -{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-\frac{3}{2}$
$\centerdot \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-2\,;\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-2$
Diện tích hình chữ nhật cần tìm là $S=\left| -\frac{3}{2} \right|.\left| 2 \right|=3$(đvdt)
a) Đúng: Hàm số đã cho không có cực trị
b) Sai: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-\frac{3}{2}$
c) Đúng: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-2$
d) Đúng: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một hình chữ nhật có diện tích bằng $3$.
Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}$ có đồ thị là $\left( C \right)$
a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}$
b) Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang, trong đó có một đường là đường thẳng có phương trình $y=-1$.
c) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$
d) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $3$
Lời giải
a) Sai: Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 2 \right\}$
b) Sai: Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}=-1$; $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}=-1$ nên hàm số chỉ có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$ .
c) Đúng: $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{4-{{x}^{2}}}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-x}{x+2}=-\frac{1}{4}$
nên $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) Sai: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $2$
Câu 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( 2;\,+\infty \right)$
b) Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có một đường tiệm cận đứng là $x=1$
c) Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có một đường tiệm cận ngang là $y=3$
d) Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left( x \right)+2}$ có hai đường tiệm cận đứng
Lời giải
a) Sai: Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;\,1 \right)\,;\,\left( 1;\,2 \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( 2;\,+\infty \right)$.
b) Đúng: Do$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x=1$
c) Đúng: Do$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=3$ nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y=3$
d) Đúng: Dựa vào đồ thị, ta có
$f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=2 \\ x={{x}_{0}}\in \left( -\infty ;\ 1 \right) \\ \end{array} \right.$.
Hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{1}{f\left( x \right)+2}$ có tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ {{x}_{0}};\ 1;\ 2 \right\}$.
Hàm số $y=g\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng xác định của nó.
Các giới hạn: $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=-\infty $; $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=0$; $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=0$; $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=+\infty $.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{1}{f\left( x \right)+2}$ có hai đường tiệm cận đứng là $x={{x}_{0}}$ và $x=2$.
Skip to PDF content