Các câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số là dạng bài mới đòi hỏi học sinh phải tự tìm ra kết quả cuối cùng thay vì lựa chọn đáp án có sẵn. Dạng toán này thường khai thác các kiến thức về tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên kết hợp với việc xét điều kiện của tham số để xác định số lượng hoặc vị trí các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp các câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số theo nhiều mức độ khác nhau. Các bài tập được xây dựng bám sát định hướng ra đề mới, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, tư duy logic và khả năng xử lý nhanh các bài toán tham số. Đây là nguồn tài liệu hữu ích để củng cố kiến thức và nâng cao năng lực giải toán trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT.
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+4x+m}$có đúng hai đường tiệm cận.
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=0$ nên đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận ngang $y=0$.
Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng $1$ tiệm cận đứng $\Leftrightarrow $ Phương trình $f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x+m=0$ có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có $1$ nghiệm $x=-1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta ‘ = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ f\left( { – 1} \right) = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4 – m = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 4 – m > 0\\ 1 – 4 + m = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m = 3 \end{array} \right.$.
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{m{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}$ có đúng $2$ đường tiệm cận?
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{m-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}=m\Rightarrow $ tiệm cận ngang $y=m$.
Để hàm số có đúng $2$đường tiệm cận thì hàm số có đúng $1$ tiệm cận đứng.
Suy ra $m{{x}^{2}}-1=0$ có một nghiệm bằng $1$ hoặc bằng $2$.
Khi đó $\left[ \begin{array}{l} m – 1 = 0\\ 4m – 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = \frac{1}{4} \end{array} \right.$
Với $m=1\Rightarrow y=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\frac{x+1}{x-2}\Rightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow $ tiệm cận đứng $x=2$.
Với $m=\frac{1}{4}\Rightarrow y=\frac{\frac{1}{4}{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-3x+2}=\frac{x+2}{4\left( x-1 \right)}\Rightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow $ tiệm cận đứng $x=1$.
Vậy có $2$ giá trị $m$ thỏa bài.
Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+3}{\sqrt{{{x}^{4}}+1}},\,\,m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( 1;-3 \right).$
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2m+1\Rightarrow d:\,\,y=2m+1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Do $A\left( 1;-3 \right)\in d\Leftrightarrow 2m+1=-3\Leftrightarrow m=-2.$
Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{2mx+m}{x-1}$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng $8$.
Lời giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là $-2m-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0$.
Khi đó, đồ thị hàm số có:
Tiệm cận đứng: $x=1$, song song với $\text{O}y$ và cắt $\text{O}x$ tại điểm $A\left( 1\,;0 \right)$.
Tệm cận ngang: $y=2m$, song song với $\text{O}x$ và cắt $\text{O}y$ tại điểm $B\left( 2m\,;0 \right)$.
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là
$S=OA.OB=1.\left| 2m \right|=8\Rightarrow m=\pm 4$.
Câu 5: Biết đồ thị hàm số $y=\frac{\left( 2m-n \right){{x}^{2}}+mx+1}{{{x}^{2}}+mx+n-6}$ ($m,\,\,n$ là tham số) nhận trục hoành và trục trung
làm hai đường tiệm cận. Tính $m+n$.
Lời giải
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{align} & 2m-n=0 \\ & n-6=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=3 \\ & n=6 \\ \end{align} \right.$. Vậy $m+n=9$.
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+2mx+3m+4}$ có đúng một đường tiệm cận đứng là
Lời giải
Để đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+2mx+3m+4}$ có đúng một đường tiệm cận đứng thì phương trình ${{x}^{2}}+2mx+3m+4=0$ có duy nhất một nghiệm hoặc phương trình ${{x}^{2}}+2mx+3m+4=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm $x=-1$ và một nghiệm $x$ khác $-1$.
Trường hợp 1: Phương trình ${{x}^{2}}+2mx+3m+4=0$ có duy nhất một nghiệm
Suy ra ${\Delta }’=0$$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-4=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-1 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.$.
Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm bằng $-1$, một nghiệm khác $-1$.
Khi đó ta có: ${{\left( -1 \right)}^{2}}+2.\left( -1 \right)m+3m+4=0$$\Leftrightarrow m=-5$.
Thử lại thấy với $m=-5$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.
Vậy $m\in \left\{ -5\,;\,-1\,;\,4 \right\}$nên có ba giá trị.
Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-2mx-m-2}$. Biết với $m=\frac{a}{b}(a,b\in \mathbb{N},\frac{a}{b}$ tối giản) thì đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận. Tính $a+b$
Lời giải
Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{{{x}^{2}}-2mx-m-2}=0\Rightarrow y=0$là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-m-2=0\left( 1 \right)$ có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ f\left( 2 \right) = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4{m^2} + 4m + 8 = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} + 4m + 8 > 0\\ {2^2} – 2m.2 – m – 2 = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} vn\\ m = \frac{2}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\]
Vậy $a=2,b=5\Rightarrow a+b=7.$
Câu 8: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}-{{a}^{2}}x+{{a}^{2}}b}$ có đồ thị $\left( C \right)$, với $a$ và $b$ là hai tham số nguyên. Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ số $\left( a;b \right)$ để có đúng hai đường tiệm cận (nếu chỉ xét tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-5x+4}{{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}-{{a}^{2}}x+{{a}^{2}}b}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-a \right)\left( x+a \right)\left( x-b \right)}$, ĐKXĐ: $\left\{ \begin{matrix} x\ne \pm a \\ x\ne b \\ \end{matrix} \right.$.
Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ luôn có một đường tiệm cận ngang nên để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ luôn có hai tiệm cận thì đồ thị $\left( C \right)$ phải có đúng một tiệm cận đứng.
Trường hợp 1: Phương trình $\left( x-a \right)\left( x+a \right)\left( x-b \right)=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$, ta có các bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 1;4 \right)$, $\left( -1;4 \right)$, $\left( 4;1 \right)$ và $\left( -4;1 \right)$.
Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm đơn $x=-a=1$ và nghiệm kép $x=a=b$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( -1;-1 \right)$.
Trường hợp 3: Phương trình có nghiệm đơn $x=-a=4$ và nghiệm kép $x=a=b$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( -4;-4 \right)$.
Trường hợp 4: Phương trình có nghiệm bội ba hay $a=b=0$ ta có bộ $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 0;0 \right)$
Vậy có tất cả $7$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Skip to PDF content