Bài toán tự luận về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số là một trong những dạng toán vận dụng và vận dụng cao thường gặp trong chương trình Toán 12. Dạng toán này không chỉ yêu cầu học sinh thành thạo các phương pháp tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên mà còn đòi hỏi khả năng phân tích, lập luận và biện luận tham số để xác định các điều kiện thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp các bài toán tự luận về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số kèm theo hướng dẫn giải chi tiết. Các bài tập được lựa chọn theo nhiều dạng khác nhau như tìm tham số để đồ thị có số đường tiệm cận cho trước, xác định vị trí các đường tiệm cận hoặc xét điều kiện để các tiệm cận thỏa mãn một yêu cầu nhất định. Thông qua việc luyện tập các bài toán tự luận, học sinh sẽ nâng cao khả năng tư duy toán học, kỹ năng trình bày lời giải chặt chẽ và tự tin hơn khi gặp các câu hỏi phân hóa trong các kỳ thi quan trọng.
Bài tập 1: Tìm tham số $m$để đồ thị hàm số
a) $y=\frac{4x+1}{mx-1}$ không có tiệm cận đứng
b) $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{{{x}^{2}}-2x+m}$có hai tiệm cận đứng
c) $y=\frac{3x-1}{x-m}$ có đường tiệm cận đứng là $x=5$ d) $y=\frac{\left( m+1 \right)x-5m}{2x-m}$ có TCN là $y=1$
e) $y=\frac{x+3}{{{x}^{2}}-2mx+9}$ có đúng hai đường tiệm cận gồm một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang
f) $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-3}$ có đúng hai đường tiệm cận gồm một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang
Lời giải
a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi
$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 4.\left( { – 1} \right) – 1.m = 0 \end{array} \right.\\ m = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = – 4\\ m = 0 \end{array} \right.$
b) Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+x-2=0$.
Hay phương trình $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ và$-2$.
Khi đó ta có
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ f\left( 1 \right) \ne 0\\ f\left( { – 2} \right) \ne 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 – m > 0\\ m – 1 \ne 0\\ 8 + m \ne 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ m \ne 1\\ m \ne – 8 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – 8 \ne m < 1$
c) Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $-3m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{3}$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=m$
Theo yêu cầu bài toán suy ra $m=5$ (thoả mãn)
d) Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $-m\left( m+1 \right)+10m\ne 0$
Tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=\frac{m+1}{2}$ theo đề bài $\frac{m+1}{2}=1\Leftrightarrow m=1$ (thoả mãn)
e) Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{2m}{x}+\frac{9}{{{x}^{2}}}}=0$ nên đồ thị hàm số đã cho luôn có một tiệm cận ngang là $y=0$. Do đó đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
Phương trình $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+9=0$ có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng $-3$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta ‘ = {m^2} – 9 = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ = {m^2} – 9 > 0\\ f\left( { – 3} \right) = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = – 3\\ \left\{ \begin{array}{l} {m^2} – 9 > 0\\ m = – 3 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = – 3 \end{array} \right.$
f) Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-3}$ có 1 tiệm cận ngang là $y=0$.
Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-3}$ có đúng hai đường tiệm cận
$\Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-3}$ có đúng 1 tiệm cận đứng
$\Leftrightarrow $Phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-3=0$ có nghiệm kép hoặc phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-3=0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0}\\ {1 – \left( {2m + 1} \right) + {m^2} – 3 = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} – 4\left( {{m^2} – 3} \right) = 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {2m + 1} \right)}^2} – 4\left( {{m^2} – 3} \right) > 0}\\ {{m^2} – 2m – 3 = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = – \frac{{13}}{4}}\\ \begin{array}{l} m = 3\\ m = – 1 \end{array} \end{array}} \right.$
Bài tập 2: Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cho bởi công thức sau:
a) $y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}-mx+1}$ có hai tiệm cận đứng b) $y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-m}$có tiệm cận xiên
Lời giải
a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $g\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+1$ có hai nghiệm phân biệt khác
$2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1 \ne 0\\ \Delta = {m^2} – 4 > 0\\ g\left( 2 \right) = {2^2} – 2m + 1 \ne 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < – 2\\ m > 2 \end{array} \right.\\ m \ne \frac{5}{2} \end{array} \right.$
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm xiên đứng khi và chỉ khi phương trình $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3x+m=0$ không có nghiệm $x=m$ tức là
$g\left( m \right) \ne 0$ $ \Leftrightarrow 2{m^2} – 2m \ne 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m \ne 1 \end{array} \right.$
Skip to PDF content